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认识拱坝以及其简易分析

2020-08-05


儘管年平均降雨量高达 2500 毫米而高居全球排名第 13 名,水资源看似不虞匮乏,台湾却是全球排名第十八缺水的国家。这是因为台湾的地势陡峭,使得河川的河床比降极大,且因台湾东西狭长,河流又多为东西流向,使得河流短促,造成大部分的降水进入河流后都迅速流入海洋,无法有效储存。再加上台湾的降雨时间较集中,无法一下储存这幺庞大的水量,只能任由其流入海中。又因地狭人稠,导致台湾每人每年可分得的水资源大约只有 4000 立方公尺,仅约世界平均的五分之一。

解决上述状况的方法,便是广筑水库来储水。因此在小小的台湾,我们就有百座以上的水库。这些水库给予人们的印象通常都是又厚又宽的笨重外观,但是其中几座水库却有着与众不同的外观,例如翡翠水库、德基水库以及谷关水库(另有荣华坝,但其为拦沙坝)。相较于其他的水库们,这些水库有着薄而弧的优雅曲线,我们称它们为「拱坝」(Arch dams)。

顾名思义,拱坝的外型呈现一水平拱形,凸面朝向上游,凹面朝向下游。那幺为什幺要将水坝建成拱形的呢?以下就让我们简短地介绍拱坝,并透过简单的力学分析来解释拱坝的力学原理。

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图一 翡翠水库(台北翡翠水库管理局提供)

拱坝为混凝土坝,从水平面来看,其朝上游方向拱起,适合建造于具有陡峭且坚固山壁的峡谷中。由于相较于其他种类的水坝,拱坝的坝体较薄,故其所使用的混凝土量较少,可节省工程的材料用量并降低运送的难度。而依照坝体的外侧弧线(凸起面)与内侧弧线(凹入面)于不同高度下的圆心位置,拱坝可分为定心拱坝 (Constant-center arch dams) 与变心拱坝 (Variable-center arch dams) 两大类(图二)。

定心拱坝不管是拱的外侧弧线或内侧弧线的圆心皆在同一点上,且不同高度的弧线圆心相连会呈现一铅垂的直线;而变心拱坝的弧线则会随着坝的种类有不同圆心位置组合。

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图二 定心拱坝与变心拱坝(本文作者陈鹏元绘製)

拱形结构的优点可用拱桥来说明,由于其拱状的结构,拱桥能够将施加于其上方的载重以压应力的形式顺着本身的形状将传至两侧的基座(图三)。也就是说,结构体本身受到的力主要为压力,且最后会将这股压力导向两端的基础。故只要有抗压性能良好的材质与稳健的基座,拱桥可以乘载极大的重量而不损坏。

回到拱坝,混凝土即是抗压性能良好的材质,再加上坚固的山壁作为拱形结构的基座,拱坝可以将水库内存水对其所产生的推力以压力的形式导向山壁,利用坚固的山壁抵抗推力,而由于拱坝本身主要受到的力为压力,正好可以有效发挥混凝土的抗压能力。

认识拱坝以及其简易分析

图三 拱结构的应力分布(本文作者陈鹏元绘製)

以较单纯的定心拱坝为例,我们可以粗略估计山壁所需承受的压力以及为了承受压力坝体所需的设计厚度。由于拱坝的设计相当的複杂,所以在此使用的是最简化的拱坝分析。首先假设坝体所承受库内水压力之水平分量全部由拱作用来承担,且由于对拱坝影响最主要的作用力为库内的水压力,故忽略其它的作用力不计。

接下来我们取水库水面下深度 \(h\) 的水平拱坝切面来分析(请参考图四),水面下深度 \(h\) 的水压力 \(P\) 等于 \(\gamma\times h\),其中 \(\gamma\) 为水的密度;\(t\) 为深度 \(h\) 下坝体的厚度;\(r\) 为坝体中心线距离弧线圆心的距离,即半径;\(\theta\) 为坝体张开角度;\(R\) 为两侧山壁对坝体施加的反作用力;\(B\) 则为深度 \(h\) 下峡谷的宽度。

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图四 水平拱坝切面(本文作者陈鹏元绘製)

根据牛顿第二运动定律,为使坝体不移动,「库内水压力 \(P\) 施加于坝体的水流方向(\(Y\) 方向)分力的总和」会等于「两侧山壁施加于坝体的反作用力的水流方向(\(Y\) 方向)分立的总和」。

为简化计算,我们将拱坝的弧线对切,仅先考虑右侧半弧的水压力。假设水压力对坝体于深度处下任一位置的单位面积上垂直施力为 \(P\),且其施力方向与水流方向(\(Y\) 方向)夹角为 \(\theta^*\) ,则其水流方向分力为  \(P\cos\theta^*\);而单侧岩壁对坝体施加的反作用力 \(R\) 的水流方向分力为 \(R\sin\frac{\theta}{2}\)(图五)。此处不需考虑垂直于水流方向(\(X\) 方向)的分力,因为坝体的左半边同样也有此方向的分力,两方将会抵消。

透过积分,我们可计算出半边坝体在深度 \(h\) 时所受水压力于水流方向的分力总和为 \(rP\sin\frac{\theta}{2}\),即 \(r\gamma h\sin\frac{\theta}{2}\),将坝体两侧所受的作用力加总后可得 \(2R\sin\frac{\theta}{2}=2r\gamma h\sin\frac{\theta}{2}\),则 \(R=r\gamma h-(1)\),即山壁所需承受的力。

假设坝体上垂直拱中心线的断面上所受应力平均分布,且坝体受最大压力处为与山壁接触面,则混凝土的容许压应力 \(\sigma=\frac{R}{t}-(2)\)。最后综合 \((1)\)、\((2)\) 两式可得坝体厚度 \(t=\frac{r\gamma h}{\sigma}\)。

由此,我们可以整理出以下结论:1. 当水深越深(即坝体越接近底部处),由于所受到水压增加,坝体的厚度亦须增加来应对。2. 在同一深度 \(h\) 下,若坝体拱弧线的半径越大,所需要的坝体厚度就越高。

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图五 分力示意图(本文作者陈鹏元绘製)

归纳以上的讨论,拱坝的优点为:其充分发挥了混凝土抗压的特性,并利用拱形的效应将大部分的水压力导向两侧的山壁,由山壁承担。相较于其他坝种,拱坝大大减少混凝土的用量,而製作混凝土会排放大量二氧化碳,故选择拱坝可降低碳排放。但由于拱坝较为複杂,故混凝土坝体在施作时较不易控制品质,且设计难度也较高,这些则是拱坝的缺点,以下(表一)为拱坝的优缺点整理。

认识拱坝以及其简易分析

表一 拱坝优缺点(本文作者陈鹏元製)

拱坝主要是利用拱形的力学效应,使坝内存水对坝体作用的水压力以压应力的形式沿着坝体的形状导向两侧坚固的山壁。相较于一般常见的重力坝以坝体本身的重量抵抗水压力,这样的方法可以减少混凝土的用量,除了外观的变化性增加,同时也具有减碳的效果。


参考文献



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